基本と応用の考え方

何事も基本が大事と言われます。

本教室でも最も重要視している点であり、ホームページ上でも少し触れたのですが、

そもそも数学の基本とは何か、それを応用させるとは何か、と改めて聞かれると私自身も説明に詰まる点が発生するのは否定できない部分です。

​こちらで、現在の私が考える基本と応用について述べてみたいと思います。

​

数学に限らず、様々な問題を解決するとき（日常での問題は、悪いことを改善することのみならず、現状をよりよくすることも問題解決と言えると思います）、これまでの学びを適用させる場面と、初めて出会った場面の両面が起こります。数学ではこの両面に対して対応する力が不可欠であり、大学入試や模擬試験において数学だけ制限時間が長いのはここに原因があります。つまり、試験時間中にじっくりと考える必要があるのです。私でも、様々な大学入試問題や模擬試験の問題を見た時に、出題パターンとして初めて出会う問題が今でもたくさんあります。数学の奥深さを感じずにはいられないところなのですが、そんなときにパッパッと答案用紙を埋めていくことはありません。Youtubeなど拝見していると東大入試が終わったとたんに解答をバンバン説明されている方がいらっしゃいますが、私にはできない芸当です。一応私自身の名誉のために言っておけば、全部の問題をスラスラ解くのが難しいというだけで、解ける問題もあります、念のため。

​

さて、先ほど触れた、これまでの学びを適用させる場面と、初めて出会った解決させる場面。これこそが、私の考える基本と応用です。すなわち、前者が基本、後者が応用です。応用という言葉自体は、辞書を紐解くと、原理を他の場面に適用させること、とあり、難しいという考え方はありません。本教室では、難しい問題を発展問題と名付けております。

​

これまでの学びを適用させるものを基本としましたが、公式を意味も分からず丸暗記するのでは問題に適用できないのは言うまでもありません。その公式の持つ意味の理解が必要です。

​

余談ですが、よく指導者によって公式の証明をどれだけ深く取り扱うかで意見が分かれます。私自身は、公式の証明は2つの長所があり、1つ目が文字計算の練習になること、2つ目がこれまでの復習ができること、です。公式は何にでも対応できるように文字での記載がほとんどですが、これが数学が苦手な原因を生み出す一つの原因だったりします。その練習につながります。これまでの復習というのは、例えば正弦定理の証明には円周角の定理が、余弦定理の証明には三平方の定理が必要です。以前とのつながりを認識できれば、公式そのものの意味も把握しやすくなります。

​

意味の理解という面では、なぜそういう解法になるのか、というのも大切です。数学Ⅰで学ぶ2次関数の最大最小の場合分けがあります。そもそも、なぜ場合分けが必要なのか説明できるでしょうか？この考え方は数学Ⅱでも使うことになります。2次関数の最大最小を場合分けで求めることは数学Ⅰの大きな山場の一つ、というとらえ方しかできないと、その場限りになってしまいます。​

​

また、もう一つの基本の要素に、数学ならではの記号や用語の取り扱いがあります。日本語での説明と、数学の用語での説明で、まったく同じことの説明なのにチンプンカンプンなのは基本の欠落と言える部分です。​

​

また、一つの用語を多方面に使うのも数学の特徴の一つです。数学Ⅰで学ぶ【判別式】は、2次方程式の解の種類を判別するための式です。しかし、Dで表されるこの判別式は、数学Ⅰの別のページにも登場します。どういう意味なのか分かりますか？​

​

このように基本というのは突き詰めていくと多岐にわたるものです。しかし、当然避けて通れません。

本教室では、上に書いたようないくつかの問いに対しても、丁寧に説明しますので、様々な問題への意識が変わってくることと思います。

​

応用は、学ぶ上ではこれまでの内容を応用させて新しい学習を行うこと、試験においては初めて出会う部分へ対応していく、という面があります。

数学Ⅱで高次方程式という分野があります。高次といっても3次以上をそう名付けるだけなのですが、これは当然中学で習う2次方程式が応用されています。しかし、その間に因数分解という重要概念が欠かせません。因数分解は中学でも習いますが、手段としての学習がほとんどです。因数分解をどうやって行うかは練習もたくさんすると思いますが、本来大切である、因数分解とは何？がおろそかにならないようにしたいところです。これも基本を応用させるところです。

​

試験での初めて出会う部分への対応は、先ほども書いた通り、時間をかける部分となります。

解答を見て、ああなるほど！と感動すると学びは深くなりますが、解けなかった現実は変わりません。

以前、大学入試問題を高校生の早い段階から生徒に解く機会を与えたことがありますが、今思えば解答を見せることの連続に終始してしまった感じはあります。

ではどうするかと言えば、解けなくてもいいから考える、これにつきます。

無責任に感じるかもしれませんが、解答を見た時の感動の大きさは自分で考えた内容の大きさに比例します。

その積み重ねが、やがて自分の力で解くことにつながっていきます。​

​

​理想としては、解答を見た時の感動に、実はこの基本がこのように応用されている、という面が上積みされると最高です。

​

​問題集に取り組むときに、単純に「こなす」という概念ではなく、次につながるような学習をしてほしいと思います。